Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Васькинская основная общеобразовательная школа - детский сад»
Рассмотрено
методическим объединением
учителей
Протокол № 1
от 29 августа 2019г.

Согласовано
Заместителем директора по
УВР
29 августа 2019г.

ФОНД
ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ
АЛГЕБРА
9 КЛАСС

Утверждено
Приказом директора
№ 76 от 30 августа
2019г.

Паспорт фонда оценочных средств
для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
АЛГЕБРА
9 класс
№
Тема раздела
1 Квадратичная функция

2

Уравнения и неравенства с
одной переменной

3

Уравнения и неравенства с
двумя переменными

4

Арифметическая и
геометрическая функции

5

Элементы комбинаторики и
теории вероятностей

6

Повторение

Наименование оценочного раздела
Контрольная работа №1
«Функции и их свойства.
Квадратный трехчлен»
Контрольная работа №2
«Квадратичная функция»
Контрольная работа №3
«Уравнения и неравенства с одной
переменной»
Контрольная работа №4
«Уравнения и неравенства с двумя
переменными»
Контрольная работа № 5
«Арифметическая прогрессия»
Контрольная работа №6
«Геометрическая прогрессия»
Контрольная работа №7
«Элементы комбинаторики и теории
вероятностей»
Итоговая контрольная работа в форме
ОГЭ (модуль «Алгебра»)

Контрольная работа №1
«Функции и их свойства. Квадратный трехчлен»
Вариант 1
• 1.

Дана функция f (х) = 17х - 51. При каких значениях аргумента f (х) =0, f (х) <
0, f (х) > 0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
• 2. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) х2 -14х +45; б) 3у2 +7у-6.
• 3.

Сократите дробь

4

.

Рис. 1

. Область определения функции g (рис. 1)
отрезок [-2; 6]. Найдите нули функции,
промежутки возрастания и убывания,
область значений функции.
5*. Сумма положительных чисел а и b равна 50. При каких значениях а и b их
произведение будет наибольшим?
Вариант 2
• 1.

Дана функция g(х) = -13х + 65. При каких значениях аргумента g(х) = 0, g (х)
< 0, g (х) > 0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
• 2. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) х2-10х+21; б) 5у2+9у-2.
• 3.

Сократите дробь
.
4. Область определения функции f (рис.
2) отрезок [-5; 4]. Найдите нули функции,
промежутки возрастания и убывания,
область значений функции.
Рис. 2

5*. Сумма положительных
чисел с и d равна 70. При каких значениях с и d их произведение будет
наибольшим?

Критерии оценивания заданий:
№
задания
Балл
Отметка
Количество
баллов

1

2

3

4

5*

2б

2б

2б

3б

1б

«5»
9-10

«4»
6-8

«3»
4-5

«2»
Меньше 4
баллов

Ответы:
Вариант 1.
1. 17х-51=0, 17х=51, х=51/17, х=3, итак при х=3 f(x)=0
17x-51<0, х<3
17х-51>0, х>3
Так как большему значению х соответствует большее значение у, то
функция возрастающая
2.

3.

4.

5. а = 50 - в
а * в = в * ( 50 - в ) = 50в - в2
Найдём максимум функции через производную ( 50в - в2 )' = 50 - 2в
50 - 2в = 0
2в = 50
в = 25
а = 50 - в = 50 - 25 = 25
При а = 25 и в = 25 произведение будет максимальным
Вариант 2.
1.
G(x)=0
-13x+65=0
13x=65
x=5

g(x)<0
g(x)>0
-13x+65<0
-13x+65>0
-13x<-65
13x<65
x>5
x<5
x∈(5; +∞)
x∈(-∞; 5)
Поскольку коэффициент при х<0, то функция является убывающей
2. х2-10х+21=0
D=b2-4ac= 16
x1= -b-/2a=3
x2=14/2=7
Тогда, по формуле а(X-x1)(X-x2)
х2-10х+21=0 = (x-3)(x-7)

5у2+9у-2=0
решаем квадр. уравнение, получаем :
y=-2
y=1/5
Тогда по формуле : 5у^2+9у-2 = 5(y+2)(y-1/5)

3.

4. Область определения [-5; 4]
нули: -3.5, 1, 3
промежутки убывания: (-1; 2)
возрастания: (-5; -1) и (2; 4)
область значений: [-2; 4]
5. С+d=70
a*d- наибольшее число
с=70-d
тогда d*(70-d)=70d-d^2=-(d^2-2*35*d+1225-1225)=-(d-35)+1225(выделил
полный квадрат)
-(d-35)+1225-это график параболы ветви которой направлены вниз значит
можно найти наибольшее значение
наибольшее значение 1225 а оно будет наибольшим при d=35
с=70-35=35

Контрольная работа №2

«Квадратичная функция»
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 14х + 45;
б) 3у2 + 7у – 6.
2. Постройте график функции у = х2 – 2х – 8. Найдите с помощью
графика:
а) значение у при х = –1,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сравните:
9

1
 
а)  2  и

9

1
 
7 ;

в) (–4,1)11 и (–3,9)11;
14

б) (–1,3)6 и (–2,1)6;
4. Вычислите:
а)

1, 21  3

5



1
32 ;

 1
 
г)  3  и 0,0114.
3
2 3 3  10
8
б)

4

0,0001

;

в)



2 4 3

.
4

3 р2  р  2
2
5. Сократите дробь 4  9 р
.
6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 6х + 11.
Вариант 2
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 10х + 21;
б) 5у2 + 9у – 2.
2. Постройте график функции у = х2 – 4х – 5. Найдите с помощью
графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = 3;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция убывает.
3. Сравните:

9

 1
 5 
9
в) 4,7 и  3  ;

а) (–1,7)5 и (–2,1)5;
8

 1
 
б)  4  и

8

 1
 
 7 ;

г) 5,712 и (–6,3)12.

4. Вычислите:
4

а)

1
 2 0,64
81
;

3

б)

1
 6
8

5

1
32 ;

 3 5  .
3

в)

3

4с 2  7с  2
2
5. Сократите дробь 1  16с
.
6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 4х + 3.
Вариант 3
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 12х + 35;
б) 7у2 + 19у – 6.
2. Постройте график функции у = х2 – 6х + 5. Найдите с помощью
графика:
а) значение у при х = 0,5;
б) значения х, при которых у = –1;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сравните:
7

7

1
1
 
 
а)  5  и  2  ;

в) (–2,3)6 и (–4,1)6;
10

1
 
г)  4  и (–1,4)10.

б) (–1,7)3 и (0,4)3;
4. Вычислите:
а)

9 5
 243
25
;

3

б)

1
2
27

4

0,0016

;

в)



2 5 3

.
5

5а 2  19а  4
2
5. Сократите дробь 1  25а
.
6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 8х + 7.

Вариант 4
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х2 – 18х + 45;
б) 9х2 + 25х – 6.
2. Постройте график функции у = х2 – 8х + 13. Найдите с помощью
графика:
а) значение у при х = 1,5;
б) значения х, при которых у = 2;
в) нули функции;
г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;
д) промежуток, в котором функция возрастает.
3. Сравните:
9

а) 3,411 и 4,211;

 3
 1 
в)  7  и (–0,7)9;

8

 1
 
б)  4  и (–1,2)8;

г) (–2,4)4 и 1,24.

4. Вычислите:
4

а)

1 3
 0,027
16
;

б)

0,81  2

5



1
32 ;

 3 2  .
4

в)

4

7b2  11b  6
2
5. Сократите дробь 9  49b
.
6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 6х – 4.

Критерии оценивания заданий:
№
задания
Балл

1

2

3

4

5

6

2б

6б

4б

3б

1б

1б

Отметка
Количество
баллов

«5»
16-17

«4»
12-15

«3»
8-11

«2»
Меньше 8
баллов

Ответы:
Вариант 1
2
1. а) х – 14х + 45 = (х – 5) (х – 9);
х2 – 14х + 45 = 0;
х1 = 5, х2 = 9.

2
б) 3у2 + 7у – 6 = 3 (у – 3 ) (у + 3) = (3у – 2) (у + 3);
3у2 + 7у – 6 = 0;
D = 49 + 72 = 121;

7  11
6 ;
у1, 2 =
2
у1 = 3 , у2 = –3.

2. у = х2 – 2х – 8 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п)
вершины параболы:



b
2a = 1;

п = 1 – 2 – 8 = –9;

m=
А (1; –9) – вершина параболы.
–
2

–
3

у –1 –5 0

7

х 0

–
1

а) у ≈ –3;
б) х ≈ –2,6;
4,4;
в) у = 0 при х
= –2 и х = 4;
г) у > 0 при х
 (–∞; –2)  (4;
+∞);
у < 0 при х
 (–2; 4);
д) [1; +∞).
9

9

1
1
 
 
2


3. а)
> 7 ;

в) (–4,1)11 < (–3,9)11;

б) (–1,3)6 < (–2,1)6;

 1
 
г)  3  > 0,0114.

14

1,21  3 5 

4. а)

3
2 3 3  10
8
б)
в)



2 4 3



4

4

1
 1,1  3 ·
32

 1
    1,1  1,5  0,4
 2
;

0,0001  2

27
3
 10 · 0,1  2 ·  1  2
8
2
;

  2  ·
4

 
4

3

4

3

 16 · 3  48

.

2


р
3

 ( р  1)
р 1
3 р2  р  2
(3 р  2)( р  1)
3





2
(2  3 р)(2  3 р) (3 р  2)(3 р  2)
3р  2 ;
5. 4  9 р
3р2 + р – 2 = 0;
D = 1 + 24 = 25;

1  5
р1, 2 = 6 ;
2
р1 = 3 , р2 = –1.

6. х2 – 6х + 11.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
х2 – 6х + 11 = х2 –2 · 3 · х + 9 – 9 + 11 = (х – 3)2 + 2.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 3, и оно
равно 2.
2-й с п о с о б.
у = х2 – 6х + 11 – квадратичная функция, графиком является парабола,
ветви которой направлены верх. Наименьшее значение квадратного
трехчлена х2 – 6х + 11 – это ордината вершины этой параболы:

b 6

2
а
2 = 3;
т=

п = 9 – 18 + 11 = 2;
2 – наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 6х + 11.
Вариант 2
1. а) х – 10х + 21 = (х – 3) (х – 7);
х2 – 10х + 21 = 0;
х1 = 3, х2 = 7.
2

1
б) 5у2 + 9у – 2 = 5 (у – 5 ) (у + 2) = (5у – 1) (у + 2);
5у2 + 9у – 2 = 0;
D = 81 + 40 = 121;

9  11
у1, 2 = 10 ;
1
у1 = 5 , у2 = –2.

2. у = х2 – 4х – 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п)
вершины параболы:



b
2a = 2;

п = 4 – 8 – 5 = –9;

m=
А (2; –9) – вершина параболы.
–
1

–
2

у –8 –5 0

7

х 1

0

а) у ≈ –6;
б) х ≈ –1,5;
5,3;
в) у = 0 при х
= –1 и х = 5;
г) у > 0 при х
 (–∞; –1) 
 (5; +∞);
у < 0 при х
 (–1; 5);
д) (–∞; 2].
9

 1
 5 
9
в) 4,7 >  3  ;

3. а) (–1,7)5 > (–2,1)5;
8

 1
 
б)  4  >

в)

г) 5,712 < (–6,3)12.

4

1
1
1 3
4
 2 0,64   2 · 0,8   1  1
81
3
3 5
15 ;

3

1
 6
8

4. а)
б)

8

 1
 
 7 ;



3 3 5



3

5

1
1
1
1
   6 ·    3  2,5
32
2
2
2
;

  3 ·
3

 
3

5

3

 27 · 5  135

.

1
4(с  )(с  2)
4с  7 с  2
(4с  1)(с  2)
с2
4




2
(1  4с)(1  4с) (4с  1)(4с  1)
4с  1 ;
5. 1  16с
2

4с2 + 7с – 2 = 0;
D = 49 + 32 = 81;

7  9
с1, 2 = 8 ;
1
с1 = 4 , с2 = –2.

6. –х2 + 4х + 3.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

–х2 + 4х + 3 = –(х2 – 4х – 3) = –(х2 –2 · 2 · х + 4 – 4 –3) = –((х – 2)2 – 7) =
= –(х – 2)2 + 7.
Это выражение принимает наибольшее значение при х = 2, и оно
равно 7.
2-й с п о с о б.
у = –х2 + 4х + 3 – квадратичная функция, графиком является парабола,
ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного
трехчлена –х2 + 4х + 3 – это ордината вершины этой параболы:

b 4

2
а
2 = 2;
т=

п = –4 + 8 + 3 = 7;
7 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 4х + 3.
Вариант 3
1. а) х2 – 12х + 35 = (х – 5) (х – 7);
х2 – 12х + 35 = 0;
х1 = 5, х2 = 7.

2
б) 7у2 + 19у – 6 = 7 (у – 7 ) (у + 3) = (7у – 2) (у + 3);
7у2 + 19у – 6 = 0;
D = 361 + 168 = 529;

19  23
14 ;
у1, 2 =
2
у1 = 7 , у2 = –3.

2. у = х2 – 6х + 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п)
вершины параболы:



b 6

2a 2 = 3;

п = 9 – 18 + 5 = –4;

т=
А (3; –4) – вершины параболы.
х 2

1

у –3 0

0

–
1

5 12

а) у ≈ 2,5;
б) х ≈ 1,1; 4,9;
в) у = 0 при х =
1 и х = 5;
г) у > 0 при х 
(–∞; –1)  (5;
+∞);
у < 0 при х 
(1; 5);
д) [3; +∞).

7

7

1
1
 
 
3. а)  5  <  2  ;

в) (–2,3)6 < (–4,1)6;

б) (–1,7)3 < (0,4)3;

1
 
г)  4  < (–1,4)10.

10

9

25

4. а)

1
2
27

3

б)
в)



5

2 5 3



5

243 
4

3
 3  3,6
5
;

1
1 2 11
0,0016   2 · 0, 2   
3
3 5 15 ;

  2  ·
5

 
5

3

5

 32 · 3  96

.

1
5(а  )(а  4)
а4
5а  19а  4
(5а  1)(а  4)
5




(1  5а)(1  5а) (5а  1)(5а  1)
5а  1 ;
1  25а 2
5.
2

5а2 + 19а – 4 = 0;
D = 361 + 80 = 441;

19  21
10 ;
а1, 2 =
1
а1 = 5 , а2 = –4.

6. х2 – 8х + 7.
1-й с п о с о б.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х2 – 8х + 7 = х2 –2 · 4 · х + 16 – 16 + 7 = (х – 4)2 – 9.
Это выражение принимает наименьшее значение при х = 4, и оно
равно –9.
2-й с п о с о б.
у = х2 – 8х + 7 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви
которой направлены вверх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х2 –
8х + 7 – это ордината вершины этой параболы:

b 8

2
а
2 = 4;
т=

п = 16 – 32 + 7 = –9;
–9 – наименьшее значение квадратного трехчлена х2 – 8х + 7.
Вариант 4
1. а) х – 18х + 45 = (х – 3) (х – 15);
х2 – 18х + 45 = 0;
х1 = 3, х2 = 15.
2

2
б) 9х2 + 25х – 6 = 9 (х – 9 ) (х + 3) = (9х – 2) (х + 3);
9х2 + 25х – 6 = 0;
D = 625 + 216 = 841;

25  29
18 ;
х1, 2 =
2
9

х1 = , х2 = –23.
2. у = х2 – 8х + 13 – квадратичная функция, графиком является
парабола.
Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п)
вершины параболы:



b 8

2a 2 = 4;

п = 16 – 32 + 13 = –3;

т=
А (4; –3) – вершины параболы.
х 3

2

у –2 1

1

0

6 13

а) у ≈ 3,4;
б) х ≈ 1,7; 6,3;
в) у = 0 при х ≈
2,3 и х ≈ 5,7;
г) у > 0 при х 
(–∞; 2,3)  (5,7;
+∞);
у < 0 при х 
(2,3; 5,7);
д) [4; +∞).

9

 3
 1 
в)  7  < (–0,7)9;

3. а) 3,411 < 4,211;
8

 1
 
б)  4  < (–1,2)8;
4

4. а)
б)
в)

1 3
1
 0,027   0,3  0,5  0,3  0, 2
16
2
;
0,81  2



г) (–2,4)4 > 1,24.

3 4 2



4

5



1
1
 0,9  2 ·  1,9
32
2
;

  3 ·
4

 
4

2

4

 81 · 2  162

.

3
7(b  )(b  2)
b2
7b  11b  6
(7b  3)(b  2)
7




2
(7b  3)(7b  3) (7b  3)(7b  3)
7b  3 ;
5. 9  49b
2

7b2 + 11b –6 = 0;
D = 121 + 168 = 289;

11  17
14 ;
b1, 2 =
3
b1 = 7 , b2 = –2.

6. –х2 + 6х – 4.
1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
–х2 + 6х – 4 = –(х2 –2 · 3 · х + 9 – 9 + 4) = –((х – 3)2 – 5) = –(х – 3)2 + 5.
Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, и оно
равно 5.
2-й с п о с о б.
у = –х2 + 6х – 4 – квадратичная функция, графиком является парабола,
ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного
трехчлена –х2 + 6х – 4 – это ордината вершины этой параболы:

b 6

т = 2а 2 = 3;

п = –9 + 18 – 4 = 5;
5 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х2 + 6х – 4.

Контрольная работа №3
«Уравнения и неравенства с одной переменной»
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) х3 – 81х = 0;

х 2  1 3х  1

4 = 2.
б) 2

2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 19х2 + 48 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 2х2 – 13х + 6 < 0;
б) х2 – 9 > 0;
в) 3х2 – 6х + 32 > 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

х 5
б) х  7 < 0.

а) (х + 8) (х – 4) > 0;
5. При каких значениях t уравнение 3х2 + tх + 3 = 0 имеет два корня?
6.* Решите уравнение:

х2  х  5
3х
 2
х
х  х  5 + 4 = 0.
Вариант 2
1. Решите уравнение:

х2  6 8  х

5
10 = 1.
б)

а) х3 – 25х = 0;
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 4х2 – 45 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 2х2 – х – 15 > 0;
б) х2 – 16 < 0;
в) х2 + 12х + 80 < 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

х3
б) х  8 > 0.

а) (х + 11) (х –9) < 0;
5. При каких значениях t уравнение 2х2 + tх + 8 = 0 не имеет корней?
6.* Решите уравнение:

х 2  14
10 х
 2
х
х  14 = 3.
Вариант 3
1. Решите уравнение:

х2  4 5х  2

6 = 1.
б) 3

а) х3 – 36х = 0;
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 13х2 + 36 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 2х2 + 5х – 7 < 0;
б) х2 – 25 > 0;
в) 5х2 – 4х + 21 > 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

х 3
б) х  6 < 0.

а) (х + 9) (х – 5) > 0;
5. При каких значениях t уравнение 2х2 + tх + 2 = 0 имеет два корня?

6.* Решите уравнение:

12
15

( х  1)( х  5) ( х  2)( х  4) = 2.
Вариант 4
1. Решите уравнение:

х 2  3 17  3х

8
б) 4
= 2.

а) х3 – 49х = 0;
2. Решите биквадратное уравнение: х4 – 17х2 + 16 = 0.
3. Решите неравенство:
а) 5х2 + 3х – 8 > 0;
б) х2 – 49 < 0;
в) 4х2 – 2х + 13 < 0.
4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

х5
б) х  10 > 0.

а) (х + 12) (х –7) < 0;
5. При каких значениях t уравнение 25х2 + tх + 1 = 0 не имеет корней?
6.* Решите уравнение:

1
9

( х  1)( х  3) ( х  1)( х  5) = –1.

№
задания
Балл

1
2б

Критерии оценивания заданий:
2
3
4
1б

3б

2б

5

6*

2б

2б

Отметка
Количество
баллов

«5»
10-12

«4»
7-10

«3»
5-6

«2»
Меньше 5
баллов

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1

х 2  1 3х  1

4 = 2;
б) 2

1. а) х – 81х = 0;
3

х (х2 – 81) = 0;
х=0

или

х2 – 81 = 0;
х2 = 81;
х = ±9.

О т в е т: –9; 0; 9.

2(х2 – 1) – (3х – 1) = 2 · 4;
2х2 – 2 – 3х + 1 – 8 = 0;
2х2 – 3х – 9 = 0;
D = 9 + 72 = 81;

39
х1 = 4 = –1,5;
39
х2 = 4 = 3.
О т в е т: –1,5; 3.

2. х – 19х + 48 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 19t + 48 = 0;
D = 361 – 192 = 169;
4

2

19  13
19  13
2 = 3, t2 =
2 = 16.
t1 =
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 3;
или
х2 = 16;
х = ±4.
х = ± 3.

О т в е т: –4; – 3 ;

3 ; 4.

3. а) 2х2 – 13х + 6 < 0;
у = 2х2 – 13х + 6.
Ветви параболы направлены вверх.
2х2 – 13х + 6 = 0;
D = 169 – 48 = 121;

13  11 1
13  11

4
2 , х2 =
4 = 6.
х1 =
1 
 ; 6
.
О т в е т:  2
б) х2 – 9 > 0;
у = х2 – 9.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 9 = 0;
х2 = 9;
х = ±3.
О т в е т: (–∞; –3)  (3; +∞).
в) 3х2 – 6х + 32 > 0;
у =3х2 – 6х + 32.
Ветви параболы направлены вверх.
3х2 – 6х + 32 = 0;
D = 9 – 96 = –87 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: (–∞; +∞).
4. а) (х + 8) (х – 4) > 0;
х = –8; 4 – нули функции
у = (х + 8) (х – 4).

О т в е т: (–∞;–8)  (4; +∞).
5. 3х2 + tх + 3 = 0;
D = t2 – 36.
Уравнение имеет два корня, если D > 0,
t2 – 36 > 0;
t2  (–∞;–6)  (6; +∞).
О т в е т: (–∞;–6)  (6; +∞).

х2  х  5
3х
 2
х
х  х  5 + 4 = 0.
6.*

х 5
б) х  7 < 0;
(х – 5) (х + 7) < 0;
х = –7; 5 – нули функции
у = (х – 5) (х + 7).

О т в е т: (–7; 5).

х2  х  5
х
Пусть
= t, тогда получим:
3
t + t + 4 = 0;
t2 + 4t + 3 = 0;
t1 = –1, t2 = –3.
В е р н е м с я к з а м е н е:

х2  х  5
х
= –1;

х + 2х – 5 = 0;
D1 = 1 + 5 = 6;
2

х1, 2 = –1 ±

или

х2  х  5
х
= –3;

х2 + 4х – 5 = 0;
х1 = 1, х2 = –5.

6.

О т в е т: –5; 1; –1 ±

6.
Вариант 2

х2  6 8  х

10 = 1;
б) 5

1. а) х – 25х = 0;
3

х (х2 – 25) = 0;
х=0

или

х2 – 25 = 0;
х2 = 25;
х = ±5.

О т в е т: –5; 0; 5.

2(х2 + 6) – (8 – х) = 1 · 10;
2х2 + 12 – 8 + х – 10 = 0;
2х2 + х – 6 = 0;
D = 1 + 48 = 49;

1  7
х1 = 4 = –2;
1  7
х2 = 4 = 1,5.

О т в е т: –2; 1,5.
2. х4 – 4х2 – 45 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 4t – 45 = 0;
t1 = –5, t2 = 9.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = –5 .
или
х2 = 9;
х = ±3.
Нет решений.
О т в е т: ±3.
3. а) 2х2 – х – 15 > 0;
у = 2х2 – х – 15 > 0.
Ветви параболы направлены вверх.

2х2 – х – 15 = 0;
D = 1 + 120 = 121;

1  11
1  11
x1 = 4 –2,5, x2 = 4 = 3.
О т в е т: (–∞;–2,5)  (3; +∞).
б) х2 – 16 < 0;
у = х2 – 16.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 16 = 0;
х2 = 16;
х = ±4.
О т в е т: (–4; 4).
в) х2 + 12х + 80 < 0;
у = х2 + 12х + 80 < 0.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 + 12х + 80 = 0;
D = 36 – 80 = –44 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: нет решений.
4. а) (х + 11) (х –9) < 0;
х = –11; 9 – нули функции
у = (х + 11) (х – 9).

О т в е т: (–11; 9).
5. 2х2 + tх + 8 = 0;
D = t2 – 64.
Уравнение не имеет корней, если D < 0,
t2 – 64 < 0;
t = ±8.
О т в е т: (–8; 8).

х 2  14
10 х
 2
х
х  14 = 3.
6.*

х3
б) х  8 > 0;
(х + 3) (х – 8) > 0;
х = –3; 8 – нули функции
у = (х + 3) (х – 8).

О т в е т: (–∞;–3)  (8; +∞).

х 2  14
х
Пусть
= t, тогда получим:
10
t – t = 3;
t2 – 3t – 10 = 0;
t1 = –2, t2 = 5.
В е р н е м с я к з а м е н е:

х 2  14
х
= –2 ;

х + 2х – 14 = 0;
D1 = 1 + 14 = 15;
2

х 2  14
х
= 5;

или

х2 – 5х – 14 = 0;
х1 = –2, х2 = 7.

х1, 2 = –1 ± 15 .
О т в е т: –2; 7; –1 ± 15 .
Вариант 3

х2  4 5х  2

6 = 1;
б) 3

1. а) х – 36х = 0;
3

х (х2 – 36) = 0;
х=0

или

х2 – 36 = 0;
х2 = 36;
х = ±6.

О т в е т: –6; 0; 6.

2(х2 – 4) – (5х – 2) = 1 · 6;
2х2 – 8 – 5х + 2 – 6 = 0;
2х2 – 5х – 12 = 0;
D = 25 + 96 = 121;

5  11
х1 = 4 = –1,5;
5  11
х2 = 4 = 4.
О т в е т: –1,5; 4.

2. х4 – 13х2 + 36 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 13t + 36 = 0;
t1 = 4, t2 = 9.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 4;
или
х2 = 9;
х = ±3.
х = ±2.
О т в е т: –3; –2; 2; 3.
3. а) 2х2 + 5х – 7 < 0;
у = 2х2 + 5х – 7.
Ветви параболы направлены вверх.

2х2 + 5х – 7 = 0;
D = 25 + 56 = 81;

5  9
5  9
x1 = 4 = –3,5, x2 = 4 = 1.
О т в е т: (–3,5; 1).
б) х2 – 25 > 0;
у = х2 – 25.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 25 = 0;
х2 = 25;
х = ±5.
О т в е т: (–∞; –5)  (5; +∞).
в) 5х2 – 4х + 21 > 0;
у = 5х2 – 4х + 21.
Ветви параболы направлены вверх.
5х2 – 4х + 21 = 0;
D = 4 – 105 = –101 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: (–∞; +∞).
4. а) (х + 9) (х – 5) > 0;
х = –9; 5 – нули функции
у = (х + 9) (х – 5).

х 3
б) х  6 < 0;
(х – 3) (х + 6) < 0;
х = –6; 3 – нули функции
у = (х – 3) (х + 6).

О т в е т: (–∞;–9)  (5; +∞).
О т в е т: (–6; 3).
2
5. 2х + tх + 2 = 0;
D = t2 – 16.
Уравнение имеет два корня, если D > 0,
t2 – 16 > 0;
t = ±4.
О т в е т: (–∞;–4)  (4; +∞).

12
15

6.* ( х  1)( х  5) ( х  2)( х  4) = 2;

12
15

х 2  6 х  5 х 2  6 х  8 = 2.

Пусть х2 + 6х + 5 = t, тогда получим:

12 15

t t  3 = 2;
12 (t + 3) + 15t = 2t (t + 3);
12t + 36 + 15t = 2t2 + 6t;
2t2 – 21t – 36 = 0;
D = 441 + 288 = 729;

21  27
21  27
3

4
4
t1 =
= 12, t2 =
= 2.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + 6х + 5 = 12;

или

х2 + 6х – 7 = 0;
х1 = 1, х2 = –7.



3
2;

х2 + 6х + 5 =
2х2 + 12х + 13 = 0;
D1 = 36 – 26 = 10;

6  10
2
х1, 2 =
.

6  10
2
О т в е т: –7; 1;
.
Вариант 4

х 2  3 17  3х

8
б) 4
= 2;

1. а) х – 49х = 0;
3

х (х2 – 49) = 0;
х=0

или

х2 – 49 = 0;
х2 = 49;
х = ±7.

О т в е т: –7; 0; 7.

2(х2 + 3) – (17 – 3х) = 2 · 8;
2х2 + 6 – 17 + 3х = 16;
2х2 + 3х – 27 = 0;
D = 9 + 216 = 225;

3  15
4
х1 =
= 3;
3  15
4
х2 =
= –4,5.

О т в е т: –4,5; 3.
2. х4 – 17х2 + 16 = 0.
Пусть х2 = t, тогда получим:
t2 – 17t + 16 = 0;
t1 = 1, t2 = 16.

В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 = 1;
или
х2 = 16;
х = ±4.
х = ±1.
О т в е т: –4; –1; 1; 4.
3. а) 5х2 + 3х – 8 > 0;
у = 5х2 + 3х – 8.
Ветви параболы направлены вверх.
5х2 + 3х – 8 = 0;
D = 9 + 160 = 169;

3  13
3  13
x1 = 10 = 1, x2 = 10 = –1,6.
О т в е т: (–∞;–1,6)  (1; +∞).
б) х2 – 49 < 0;
у = х2 – 49.
Ветви параболы направлены вверх.
х2 – 49 = 0;
х2 = 49;
х = ±7.
О т в е т: (–7; 7).
в) 4х2 – 2х + 13 < 0;
у = 4х2 – 2х + 13.
Ветви параболы направлены вверх.
4х2 – 2х + 13 = 0;
D = 1 – 52 = –51 < 0.
Парабола не пересекает ось х.
О т в е т: нет решений.
4. а) (х + 12) (х –7) < 0;
х = –12; 7 – нули функции
у = (х + 12) (х – 7).

О т в е т: (–12; 7).
5. 25х2 + tх + 1 = 0;
D = t2 – 100.

х5
б) х  10 > 0;
(х + 5) (х – 10) > 0;
х = –5; 10 – нули функции
у = (х + 5) (х – 10).

О т в е т: (–∞;–5)  (10; +∞).

Уравнение не имеет корней, если D < 0,
t2 – 100 < 0,
t = ±10.
О т в е т: (–10; 10).

1
9

6.* ( х  1)( х  3) ( х  1)( х  5) = –1;
1
9
 2
2
х  4 х  3 х  4 х  5 = –1.

Пусть х2 + 4х = а, тогда получим:

1
9

а  3 а  5 = –1;

а – 5 + 9 (а + 3) + (а + 3) (а – 5) = 0;
а – 5 + 9а + 27 + а2 – 2а – 15 = 0;
а2 + 8а + 7 = 0;
а1 = –1, а2 = –7.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х2 + 4х = –1;
или
х2 + 4х = –7;
х2 + 4х + 1 = 0;
х2 + 4х + 7 = 0;
D = 4 – 7 = –3 < 0.
D = 4 – 1 = 3;
Решений нет.
х1, 2 = –2 ± 3 .
О т в е т: –2 ±

3.

Контрольная работа №4
«Уравнения и неравенства с двумя переменными»
Вариант 1
1. Решите систему уравнений:

2 x  y  7,
 2
 x  y  1.

2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м 2.
Найдите стороны прямоугольника.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения
параболы у = х2 + 4 и прямой х + у = 6.
4. Решите систему уравнений:

2 y  x  7,
 2
2
 x  xy  y  29.
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
неравенств:

 x  y  1,

2
y  3 x .
Вариант 2
1. Решите систему уравнений:

 x  3 y  2,

 xy  y  6.
2. Одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой стороны.
Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см2.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения
окружности х2 + у2 = 10 и прямой х + 2у = 5.
4. Решите систему уравнений:

 y  3x  1,
 2
2
 x  2 xy  y  9.
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
неравенств:

2 x  y  2,
 2
2
 x  y  9.
Вариант 3
1. Решите систему уравнений:

 x  5 y  2,
 2
 x  y  10.
2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см 2.
Найдите стороны прямоугольника.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения
параболы у = х2 – 8 и прямой х + у = 4.

4. Решите систему уравнений:

 x  5 y  9,
 2
2
 x  3xy  y  3.
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
неравенств:

 x  y  1,

2
 y  x  4.
Вариант 4
1. Решите систему уравнений:

3x  y  1,

 x  xy  8.
2. Одна из сторон прямоугольника на 4 м больше другой стороны.
Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45 м2.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения
окружности х2 + у2 = 17 и прямой 5х – 3у = 17.
4. Решите систему уравнений:

 x  2 y  1,
 2
2
 x  xy  2 y  1.
5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
неравенств:

 y  x  1,

2
2
( x  1)  y  9.

№
задания
Балл

Отметка

Критерии оценивания заданий:
1
2
3
4

5

1б

1б

«5»

2б

1б

«4»

1б

«3»

«2»

Количество
баллов

6

4-5

2-3

Меньше 2
баллов

Ответы:
Вариант 1

2 x  y  7,
 y  7  2 x,

 2
 2
x
y
1;



 x  (7  2 x)  1.
1.
х2 – 7 + 2х = 1;
х2 + 2х – 8 = 0;
х1 = –4  у1 = 7 – 2 · (–4) = 15;
 у2 = 7 – 2 · 2 = 3.
х2 = 2
О т в е т: (–4; 15), (2; 3).
2. Пусть х м – одна сторона, а у м – другая сторона прямоугольника. Так
как периметр прямоугольника равен 28 м, то получим уравнение:
2(х + у) = 28.
Площадь прямоугольника равна 40 м2, поэтому ху = 40.
Составим и решим систему уравнений:
2 ( x  y)  28,
 x  y  14,
 x  14  y,





 xy  40;
 xy  40;
(14  y) y  40.
14у – у2 = 40;
у2 – 14у + 40 = 0;
 х1 = 14 – 4 = 10;
у1 = 4
у2 = 10  х2 = 14 – 10 = 4.
О т в е т: 4 м и 10 м.
3. Согласно условию составим и решим систему уравнений:

 y  x 2  4,

 x  y  6;



 y  x 2  4,

2
 x  x  4  6.

х2 + х – 2 = 0;
 у1 = 1 + 4 = 5;
х1 = 1
х2 = –2  у2 = (–2)2 + 4 = 8.
О т в е т: (1; 5), (–2; 8).

2 y  x  7,
 x  2 y  7,

 2

2
2
2
x

xy

y

29;

(2 y  7)  (2 y  7) y  y  29.
4.
4у2 – 28у + 49 – 2у2 + 7у – у2 = 29;

у2 – 21у + 20 = 0;
 х1 = 2 · 1 – 7 = –5;
у1 = 1
у2 = 20  х2 = 2 · 20 – 7 = 33.
О т в е т: (–5; 1), (33; 20).

 x  y  1,

2
y
3
x
;



5.



 y  1  x,

2
 y   x  3.

Вариант 2

 x  3 y  2,

xy  y  6;
1. 



 x  3 y  2,

(3 y  2) y  y  6.

3у2 + 2у + у = 6;
3у2 + 3у – 6 = 0;
у2 + у – 2 = 0;
 х 1 = 3 · 1 + 2 = 5;
у1 = 1
у2 = –2  х 2 = 3 · (–2) + 2 = –4.
О т в е т: (5; 1), (–4; –2).
2. Пусть х см – одна сторона, а у см – другая сторона прямоугольника. Так
как одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой, то имеем
уравнение х = у + 2. Так как площадь прямоугольника равна 120 см2, то
имеем уравнение ху = 120.
Составим и решим систему уравнений:

 x  y  2,

 xy  120;



 x  y  2,

( y  2) y  120.

у2 + 2у – 120 = 0;
у1 = 10  х1 = 10 + 2 = 12;
у2 = –12  х2 = –12 + 2 = –10 – не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 10 см и 12 см.
3. Согласно условию составим и решим систему уравнений:

 x 2  y 2  10,
 x  5  2 y,



2
2
 x  2 y  5;
(5  2 y )  y  10.
25 – 20у + 4у2 + у 2 = 10;
5у2 – 20у + 15 = 0;
у2 – 4у + 3 = 0;
 х1 = 5 – 2 · 1 = 3;
у1 = 1
 х2 = 5 – 2 · 3 = –1.
у2 = 3
О т в е т: (3; 1), (–1; 3).
 y  3x  1,
 y  3x  1,

 2
 2
2
2
x
2
xy
y
9;
x
2
x
(3
x
1)
(3
x
1)







 9.


4.
х2 – 6х2 – 2х + 9х2 + 6х + 1 = 9;
4х2 + 4х – 8 = 0;
х2 + х – 2 = 0;
 у1 = 3 · 1 + 1 = 4;
х1 = 1
х2 = –2  у2 = 3 · (–2) + 1 = –5.
О т в е т: (1; 4), (–2; –5).
2 x  y  2,
 2
x  y 2  9;
5. 



 y  2 x  2,
 2
2
 x  y  9.

Вариант 3

 x  5 y  2,
 2
x  y  10;
1. 



 x  5 ( x 2  10)  2,

2
 y  x  10.

х – 5х2 + 50 = 2;
5х2 – х – 48 = 0;
D = 1 + 4 · 5 · 48 = 961;
1  31
 у1 = 3,22 – 10 = 0,24;
х1 = 10 = 3,2

1  31
 у2 = 32 – 10 = –1.
х2 = 10 = –3
О т в е т: (3,2; 0,24), (–3; –1).
2. Пусть х см – одна сторона, а у см – другая сторона прямоугольника.
Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:

2 ( x  y )  26,

 xy  42;



 x  y  13,

 xy  42;



13у – у2 = 42;
у2 – 13у + 42 = 0;
 х1 = 13 – 6 = 7;
у1 = 6
 х2 = 13 – 7 = 6.
у2 = 7
О т в е т: 6 см и 7 см.

 y  x 2  8,

 x  y  4;



 x  13  y,

(13  y) y  42.

 y  x 2  8,

2
 x  x  8  4.

3.
х2 + х – 12 = 0;
 у1 = 32 – 8 = 1;
х1 = 3
х2 = –4  у2 = (–4)2 – 8 = 8.
О т в е т: (3; 1), (–4; 8).

 x  5 y  9,
 x  9  5 y,

 2

2
2
2
x
3
xy
y
3;
(9
5
y
)
3
(9
5
y
)
y
y







 3.


4.
81 + 90у + 25у2 + 27у + 15у2 – у2 = 3;
39у2 + 117у + 78 = 0;
у2 + 3у + 2 = 0;
у1 = –1  х1 = 9 + 5 · (–1) = 4;
у2 = –2  х2 = 9 + 5 · (–2) = –1.
О т в е т: (4; –1), (–1; 2).
 x  y  1,

y  x 2  4;
5. 



 y  x  1,

2
 y  x  4.

Вариант 4

3x  y  1,

x  xy  8;
1. 

 y  3x  1,

 x  x (3x  1)  8.



х + 3х2 + х = 8;
3х2 + 2х – 8 = 0;
D1 = 1 + 2 4 = 25;
1  5 4

3
х1 = 3
1  5
х2 = 3 = –2



4
у1 = –3 ∙ 3 – 1 = –5;



у2 = –3 ∙ (–2) – 1 = 5.

4

 ;  5
 , (–2; 5).
О т в е т:  3
2. Пусть х м – одна сторона, а у м – другая сторона прямоугольника.
Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:

 x  4  y,

 xy  45;

 x  4  y,

(4  y ) y  45.



у2 + 4у – 45 = 0;
у1 = –9  х1 = 4 – 9 = –5 – не удовлетворяет условию задачи;
 х2 = 4 + 5 = 9.
у2 = 5
О т в е т: 5 м и 9 м.

 x 2  y 2  17,

5 x  3 y  17;



 x 2  y 2  17,

5 x  17  3 y;

3.
289 + 102у + 9у2 + 25у2 = 17 · 25;
34у2 + 102у – 136 = 0;



 17  3 y 2
 y 2  17,


 5 

 x  17  3 y .

5

у2 + 3у – 4 = 0;

17  3
 х1 = 5 = 4;
у1 = 1
17  12
5
у2 = –4  х2 =
= 1.
О т в е т: (4; 1), (1; –4).

 x  2 y  1,
 x  1  2 y,

 2

2
2
2
x
xy
2
y
1;




(1  2 y )  (1  2 y ) y  2 y  1.
4.
1 – 4у + 4у2 – у + 2у2 – 2у2 = 1;
4у2 – 5у = 0;
 х1 = 1;
у1 = 0
5
5
у2 = 4  х2 = 1 – 2 ∙ 4 = –1,5.
О т в е т: (1; 0) (–1,5; 1,25).

 y  x  1,

( x  1) 2  y 2  9;
5. 



 y  1  x,

2
2
( x  1)  y  9.

Контрольная работа №5
«Арифметическая прогрессия»
Вариант 1
1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (ап), если а1
= –15 и d = 3.

2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической
прогрессии: 8; 4; 0; …
3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bп),
заданной формулой bп = 3п – 1.
4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (ап), в
которой а1 = 25,5 и а9 = 5,5?
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих
100.
Вариант 2
1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (ап), если а1
= 70 и d = –3.
2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: –
21; –18; –15; …
3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (bп),
заданной формулой bп = 4п – 2.
4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (ап), в
которой а1 = 11,6 и а15 = 17,2?
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих
150.
Вариант 3
1. Найдите тридцать второй член арифметической прогрессии (ап), если а1
= 65 и d = –2.
2. Найдите сумму двадцати четырех первых членов арифметической
прогрессии: 42; 34; 26; …
3. Найдите сумму восьмидесяти первых членов последовательности
(bп), заданной формулой bп = 2п – 5.
4. Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (ап), в
которой а1 = –2,25 и а11 = 10,25?
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих
80.
Вариант 4
1. Найдите сорок третий член арифметической прогрессии (ап), если а1
= –9 и d = 4.
2. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметической
прогрессии: –63; –58; –53; …
3. Найдите сумму ста двадцати первых членов последовательности (bп),
заданной формулой bп = 3п – 2.
4. Является ли число 35,8 членом арифметической прогрессии (ап), в
которой а1 = –23,6 и а22 = 11?
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих
150.

В контрольной работе задания 1 и 2 обязательного уровня.

№
задания
Балл

Отметка
Количество
баллов

Критерии оценивания заданий:
1
2
3
4

5

1б

1б

1б

«5»
5

1б

«4»
4

1б

«3»
3

«2»
Меньше 3
баллов

Ответы:
Вариант 1
1. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = –15, d = 3.
а23 = а1 + 22d; а23 = –15 + 22 · 3 = –15 + 66 = 51.
О т в е т: 51.
2. 8; 4; 0; … – арифметическая прогрессия;
а1 = 8, d = – 4.

2a1  d (n  1)
2
Sn =
· п;

S16

2 · 8  4 · 15
2
=
· 16 = (16 – 60) · 8 =

= –44 · 8 = –352.
О т в е т: –352.
3. bп = 3п – 1, значит, (bп) – арифметическая прогрессия.
b1 = 3 · 1 – 1 = 2; b60 = 3 · 60 – 1 = 179;

b1  bn
2  179
2 · п; S60 =
2
Sn =
· 60 = 181 · 30 = 5430.

О т в е т: 5430.
4. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = 25,5; а9 = 5,5.
Пусть ап = 54,5.

a9  a1
5,5  25,5
20

8 ; d=
8
8 = –2,5;
d=
=

ап = а1 + d (п – 1); 54,5 = 25,5 – 2,5 (п – 1); 2,5 (п – 1) = –29;
п – 1 = –11,6;
п = –10,6, п N, значит, 54,5 не является членом
арифметической прогрессии (ап).
О т в е т: нет.

5. (ап) – арифметическая прогрессия; ап = 3п; ап ≤ 100;

1
3п ≤ 100; п ≤ 33 3 , так как п  N,то п = 33.
a1  an
2 · п; а1 = 3; а33 = 99, тогда
Sn =
3  99
2 · 33 = 1683.
S33 =
О т в е т: 1683.
Вариант 2
1. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = 70, d = –3.
а18 = а1 + 17d; а18 = 70 + 17 · (–3) = 70 – 51 = 19.
О т в е т: 19.
2. –21; –18; –15; … – арифметическая прогрессия;
а1 = –21, d = 3.

2a1  d (n  1)
2 · (21)  3 · 19
42  57
2
2
2
Sn =
· п; S20 =
· 20 =
· 20 =

= 15 · 10 = 150.
О т в е т: 150.
3. bп = 4п – 2, значит, (bп) – арифметическая прогрессия.
b1 = 2; b40 = 4 · 40 – 2 = 160 – 2 = 158;

b1  bn
2  158
2 · п; S40 =
2
Sn =
· 40 = 160 · 20 = 3200.

О т в е т: 3200.
4. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = 11,6; а15 = 17,2.
Пусть ап = 30,4.

a15  a1
17,2  11,6 5,6
14
d = 14 ; d =
= 14 = 0,4;

ап = а1 + d (п – 1); 30,4 = 11,6 + 0,4 (п – 1); 0,4 (п – 1) = 18,8;
п – 1 = 47; п = 48, п  N, значит, 30,4 является членом арифметической
прогрессии (ап).
О т в е т: да.
5. (ап) – арифметическая прогрессия; ап = 7п; ап ≤ 150;

3
7п ≤ 150; п ≤ 21 7 , так как п  N,то п = 21.
a1  an
2 · п; а1 = 7; а21 = 147, тогда
Sn =

7  147
2
S21 =
· 21 = 77 · 21 = 1617.
О т в е т: 1617.
Вариант 3
1. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = 65, d = –2.
а32 = а1 + 31d; а32 = 65 + 31 · (–2) = 65 – 62 = 3.
О т в е т: 3.
2. 42; 34; 26; … – арифметическая прогрессия;
а1 = 42, d = –8.

2a1  d (n  1)
2 · 42  8 · 23
84  184
2
2
2
Sn =
· п; S24 =
· 24 =
· 24 =

= –100 · 12 = –1200.
О т в е т: –1200.
3. bп = 2п – 5, значит (bп) – арифметическая прогрессия.
b1 = –3; b80 = 2 · 80 – 5 = 160 – 5 = 155

b1  bn
3  155
2 · п; S30 =
2
Sn =
· 80 = 152 · 40 = 6080.

О т в е т: 6080.
4. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = –2,25; а11 = 10,25.
Пусть ап = 6,5.

a11  a1
10,25  2,25
10
d = 10 ; d =
= 1,25.

ап = а1 + d (п – 1); 6,5 = –2,25 + 1,25 (п – 1);
1,25 (п – 1) = 8,75;
п – 1 = 7; п = 8, п  N, значит, число 6,5 является членом арифметической
прогрессии (ап).
О т в е т: да.
5. (ап) – арифметическая прогрессия, ап = 9п; ап ≤ 80;

8
9п ≤ 80; п ≤ 8 9 , так как п  N,то п = 8.
a1  an
9  72
2 · п; S8 = 2 · 8 = 324.
а1 = 9; а8 = 72, Sn =
О т в е т: 324.
Вариант 4
1. (ап) – арифметическая прогрессия; а1 = –9, d = 4.
а43 = а1 + 42d; а43 = –9 + 42 · 4 = –9 + 168 = 159.
О т в е т: 159.

2. –63; –58; –53; … – арифметическая прогрессия;
а1 = –63, d = 5.

2a1  d (n  1)
2 · (  63)  5 · 13
126  65
2
2
2
Sn =
· п; S14 =
· 14 =
· 14 =

= –61 · 7 = –427.
О т в е т: –427.
3. bп = 3п – 2, значит (bп) – арифметическая прогрессия.
b1 = 1; b120 = 3 · 120 – 2 = 358

b1  bn
1  358
2 · п; S120 =
2
Sn =
· 120 = 359 · 60 = 21540

О т в е т: 21540.
4. (ап) – арифметическая прогрессия, а1 = –23,6; а22 = 11.
Пусть ап = 35,8.

a22  a1
11  23,6 34,6
68
21
21 ; d =
d=
= 21 = 1 105 ;
173
ап = а1 + d (п – 1); 35,8 = –23,6 + 105 (п – 1);
173
59,4 · 105
9
173 ; п – 1 = 36 173 ;
105 (п – 1) = –59,4; п – 1 =
9
п = 37 173 , п N, значит, число 35,8 не является членом арифметической

прогрессии (ап).
О т в е т: нет.

5. (ап) – арифметическая прогрессия; ап = 6п; ап ≤ 150;
6п ≤ 150; п ≤ 25, так как п  N, то п = 25.

a1  an
2 · п; ; а1 = 6; а25 = 150, тогда
Sn =
6  150
2
S25 =
· 25 = 78 · 25 = 1950.

Контрольная работа №6
«Геометрическая прогрессия»
Вариант 1
1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bп), если b1 = –32 и q

1
= 2.
2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 2, а знаменатель
равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

16
3. Между числами 27 и 3 вставьте три числа, которые вместе с данными

числами образуют геометрическую прогрессию.
4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии
(bп) с положительными членами, зная, что b2 = 0,04 и b4 = 0,16.
5. Найдите первый член геометрической прогрессии (ап), в которой q
= 3, S4 = 560.
Вариант 2
1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (bп), если b1 = 0,81 и q


=

1
3.

2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 6, а знаменатель
равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии.

4
3. Между числами 49 и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с

данными числами составили геометрическую прогрессию.
4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии
(bп) с положительными членами, зная, что b2 = 1,2 и b4 = 4,8.
5. Найдите первый член геометрической прогрессии (ап), в которой q
= –2, S5 = 330.
Вариант 3
1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bп), если b1 = –125 и q

1
= 5.
2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 4, а знаменатель
равен 2. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.

1
3. Между числами 48 и 27 вставьте три числа так, чтобы вместе с

данными они составили геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии
(bп) с положительными членами, зная, что b3 = 0,05 и b5 = 0,45.
5. Найдите первый член геометрической прогрессии (ап), в которой q
= –3, S4 = 400.
1. Найдите

девятый

Вариант 4
член геометрической

прогрессии

(bп),

если

1
b1 = 100000 и q = 5 .
2. Первый член геометрической прогрессии (bп) равен 6, а знаменатель
равен 4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

7
3. Между числами 35 и 125 вставьте три числа так, чтобы вместе с

данными они образовывали геометрическую прогрессию.
4. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bп) с
положительными членами, зная, что b3 = 3,6 и b5 = 32,4.
5. Найдите первый член геометрической прогрессии (ап), в которой q
= 2, S5 = 403.

№
задания
Балл

Отметка
Количество
баллов

Критерии оценивания заданий:
1
2
3
4

5

1б

1б

1б

«5»
5

1б

«4»
4

1б

«3»
3

Ответы:
Вариант 1

1
1. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = –32, q = 2 .
6

1
1
b7  32 ·    32 ·
 0,5.
6
2
64
 
b7 = b1 · q ,
О т в е т: –0,5.
2. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 2, q = 3.

«2»
Меньше 3
баллов

b1 (q6  1)
2 (36  1)
, S6 
S6 
 728
3 1
q 1
.
О т в е т: 728.
16
3. 27 ; а2; а3; а4; 3 – геометрическая прогрессия,
4

a
3 · 27
3
3
q  5 ; q4 
; q4    ; q   .
a1
16
2
2
3
8
4
q  ; a2  ; a3  ; a4  2;
2
9
3
1)
3
8
4
q   ; a2   ; a3  ; a4  2.
2
9
3
2)
8 4
8 4
; ; 2
 ; ; 2
О т в е т: 1) 9 3
; 2) 9 3
.
4

4. (bп) – геометрическая прогрессия, bп > 0, b2 = 0,04, b4 = 0,16.
b2 = b1 · q;
b4  b1 · q3  (b1 · q) · q 2  b2 · q 2 ;
0,16 = 0,04 · q2; q2 = 4; q = 2 (так как bп > 0)

b1 

b2
0,04
; b1 
; b1  0,02.
q
2

b1 (q9  1)
0,02 (29  1)
; S9 
S9 
 0,02 · 511  10,22.
2 1
q 1
О т в е т: 10,22.
5. (ап) – геометрическая прогрессия, q = 3, S4 = 560.
a1 (q 4  1)
S (q  1)
560 · 2 560 · 2
; a1  4 4
; a1  4
S4 

 14.
80
q 1
3 1
q 1
О т в е т: 14.
Вариант 2
1. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 0,81, q =
5



1
3.

34  1 
1
 1
·  5   
.
b6  0,81 ·    
5
3
100
300
3




b6 = b1 · q ,
1
О т в е т: 300 .
2. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 6, q = 2.


b1 (q7  1)
6 (27  1)
, S7 
S7 
 6 · 127  762.
2 1
q 1
О т в е т: 762.
4
3. 49 ; а2; а3; а4; 196 – геометрическая прогрессия,
a
196 · 49
; q 4  49 · 49; q  7.
q4  5 ; q4 
4
a1
4
q  7; a2  ; a3  4; a4  28;
7
1)
4
q  7; a2   ; a3  4; a4  28.
7
2)

4
4
; 4; 28
 ; 4;  28
О т в е т: 1) 7
; 2) 7
.
4. (bп) – геометрическая прогрессия, bп > 0, b2 = 1,2, b4 = 4,8.
b2 = b1 · q;
b4  b1 · q3  (b1 · q) · q 2  b2 · q 2 ;
4,8 = 1,2 · q2; q2 = 4; q = 2 (так как bп > 0);

b1 

b2
1, 2
; b1 
; b1  0,6.
q
2

b1 (q8  1)
0,6 (28  1)
; S8 
S8 
 0,6 · 255  153.
2 1
q 1
О т в е т: 153.
5. (ап) – геометрическая прогрессия, q = –2, S4 = 330.
S (q  1)
a1 (q5  1)
330 · (2  1) 330 · (3)

 30.
S5 
; a1  5 5
; a1 
33
q 1
q 1
(2)5  1
О т в е т: 30.
Вариант 3

1
1. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = –125, q = 5 .
4

53
1
1
b5  125 ·     4    0,2.
5
5
5
b5 = b1 · q4,
О т в е т: –0,2.
2. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 4, q = 2.

b1 (q8  1)
4 (28  1)
, S8 
S8 
 4 · 255  1020.
2 1
q 1
О т в е т: 1020.
1
3. 48; а2; а3; а4; 27 – геометрическая прогрессия,
a
1
1
1
1
4
; q4  3
;
;
.
q4  5 ; q4 
q

q


27 · 48
6
a1
3 · 24 · 3
34 · 24
1
4
2
q  ; a2  8; a3  ; a4  ;
6
3
9
1)
1
4
2
q   ; a2  8; a3  ; a4   .
6
3
9
2)

4 2
4
2
;
8; ; 
3 9 ; 2)
3
9.
О т в е т: 1)
4. (bп) – геометрическая прогрессия, bп > 0, b3 = 0,05, b5 = 0,45.
b3 = b1 · q2;
b5  b1 · q 4  (b1 · q 2 ) · q 2  b3 · q 2 ;
8;

0,45 = 0,05 · q2; q2 = 9; q = 3 (так как bп > 0);

b1 

b 3 0,05
1


.
9
180
q2

1
· (6561  1)
b1 (q  1)
6560
2
180

 18 .
; S8 
S8 
2
360
9
q 1
8

2
О т в е т: 18 9 .
5. (ап) – геометрическая прогрессия, q = –3, S4 = 400.
a1 (q 4  1)
S (q  1)
400 · (3  1) 400 · (4)
; a1  4 4
; a1 
S4 

 20.
80
q 1
(3)4  1
q 1
О т в е т: –20.
Вариант 4

1
1. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 100000, q = 5 .
8

5
 1  5 · 32 32 32
b9  100000 ·    8
 3 
 0,256.
8
5
125
5
5
 
b9 = b1 · q ,

О т в е т: 0,256.
2. (bп) – геометрическая прогрессия, b1 = 6, q = 4.

b1 (q5  1)
6 (45  1)
, S5 
S5 
 2 · 1023  2046.
4 1
q 1
О т в е т: 2046.
7
3. 35; а2; а3; а4; 125 – геометрическая прогрессия,
a
7
7
1
; q4  4
; q .
q4  5 ; q4 
125 · 35
5
a1
5 ·7
1
7
7
q  ; a2  7; a3  ; a4  ;
5
5
25
1)
1
7
7
q   ; a2  7; a3  ; a4   .
5
5
25
2)

7 7
7
7
;
7; ; 
5 25 ; 2)
5
25 .
О т в е т: 1)
4. (bп) – геометрическая прогрессия, bп > 0, b3 = 3,6, b5 = 32,4.
b3 = b1 · q2;
b5  b1 · q 4  (b1 · q 2 ) · q 2  b3 · q 2 ;
7;

32,4 = 3,6 · q2; q2 = 9; q = 3 (так как bп > 0);

b 3 3,6

 0, 4.
9
q2
b1 (q5  1)
0,4 · (35  1)
; S5 
S5 
 0,2 · 242  48,4.
3 1
q 1

b1 

О т в е т: 48,4.
5. (ап) – геометрическая прогрессия, q = 2, S5 = 403.
S (q  1)
a1 (q5  1)
403 · (2  1) 403

 13.
S5 
; a1  5 5
; a1 
q 1
31
q 1
25  1
О т в е т: 13.

Контрольная работа №7
«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
Вариант 1
1. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях
каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных

пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с
поверхностью стола?
2. Сколько существует шестизначных чисел (без повторения цифр), у
которых цифра 5 является последней?
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады
разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди
обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
4. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре
карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что
при выкладывании получится слово «клоп»?
5. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное
двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.
Вариант 2
1. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут
по одному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора
двух мелков?
2. Сколько существует пятизначных чисел (без повторения цифр), у
которых вторая цифра в записи 4?
3. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5
шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
4. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, ф, х. Четыре
карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что
при выкладывании получится слово «хруст»?
5. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное
двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.

№
задания
Балл

Отметка
Количество
баллов

Критерии оценивания заданий:
1
2
3
4
1б

«5»
5

1б

1б

«4»
4

Ответы:

5

1б

1б

«3»
3

«2»
Меньше 3
баллов

Вариант 1
1. Первый тетраэдр может лечь на стол одной из четырех своих граней;
второй тетраэдр – также одной из четырех своих граней; всего 4 ∙ 4 = 16
различных пар граней (чисел).
О т в е т: 16.
2. Фиксируем цифру 5 на последнем месте, на остальные пять перед ней
выбираем любые пять цифр из 9 оставшихся (с учетом порядка выбора).
9!
А95 
4! = 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 15120 чисел. Но мы
Количество вариантов
знаем, что цифра 0 не может стоять на первом месте. Мы должны
«отбросить» из этих чисел те, у которых 0 на первом месте (и 5 на
последнем).
8!
А84 
4! = 5 · 6 · 7 · 8 = 1680 чисел.
Таких чисел
Значит, всего 15120 – 1680 = 13440 вариантов.
О т в е т: 13440.
3. Исходы – все возможные четверки людей, выбираемые из членов
бригады; порядок выбора не учитывается, так как все билеты равнозначные.
7!
5·6·7
п  С74 

4!3! 1 · 2 · 3 = 35.
Общее число исходов:
2
2
Событие А – «выбраны 2 мужчины и 2 женщины», m = С4 · С3 =

4!
3! 3 · 4 · 3
·

1 · 2 = 18 – количество благоприятных исходов;
= 2!2! 2!1!
т 18
Р( А)  
п 35 .
18
О т в е т: 35 .
4. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в
6!
А64 
2! = 3 · 4 · 5 · 6 = 360 –
определенном порядке, то есть размещения
общее число исходов.
Благоприятный исход – один (слово «клоп»).
1
Р( А) 
360 .
Вероятность
1
О т в е т: 360 .
5. Общее число двузначных чисел п = 90.

Событие А – «случайным образом выбранное двузначное число при
делении на 11 дает в остатке 10».
Количество благоприятных исходов т равно числу значений k, при
которых число 11k + 10 – двузначное. Это будет при k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
то есть т = 9.
т 9
Р( А)  
 0,1
п
90
Искомая вероятность
.
О т в е т: 0,1.
Вариант 2
1. В данном случае порядок выбора имеет значение (один цвет может
попасться Гене или Тане). Гена может выбрать один из 8 мелков, а Таня –
один из 7 оставшихся. Общее число вариантов выбора по правилу
умножения равно 8 · 7 = 56.
О т в е т: 56.
2. Фиксируем цифру 4 на втором месте, на остальные четыре выбираем
любые четыре цифры из 9оставшихся (с учетом порядка выбора). Количество
9!
А94 
5! = 6 · 7 · 8 · 9 = 3024 чисел. Но мы знаем, что цифра 0 не
вариантов
может стоять на первом месте. Мы должны «отбросить» из этих чисел те, у
8!
А83 
5! = 6 · 7 · 8 =
которых 0 на первом месте (и 4 на втором). Таких чисел
336 чисел. Значит, всего 3024 – 336 = 2688 вариантов.
О т в е т: 2688.
3. Исходы – все возможные пятерки шаров, вынимаемые из урны; порядок
выбора не учитывается.
10! 6 · 7 · 8 · 9 · 10
п  С105 

 252
5!5!
1
·
2
·
3
·
4
·
5
Общее число исходов:
.
2
3
Событие А – «выбраны 2 белых и 3 черных шара», m = С6 · С4 =

6!
4! 4 · 5 · 6
·

1 · 2 = 60 – количество благоприятных исходов;
= 2!4! 3!1!
т 60
5
Р( А)  

п 252 21 .
5
О т в е т: 21 .
4. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в
6!
А65 
1! = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 –
определенном порядке, то есть размещения
общее число исходов.

Благоприятный исход – один (слово «хруст»).
1
Р( А) 
720 .
Вероятность

1
О т в е т: 720 .
5. Общее число двузначных чисел п = 90.
Событие А – «случайным образом выбранное двузначное число при
делении на 13 дает в остатке 5».
Количество благоприятных исходов т равно числу значений k, при
которых число 13k + 5 – двузначное. Это будет при k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, то
есть т = 7.
т 7
Р( А)  
п 90 .
Искомая вероятность
7
О т в е т: 90 .

Итоговая контрольная работа в форме ОГЭ (модуль «Алгебра»)
Задания с образовательного портала для подготовки к экзаменам
(сайт Решу ОГЭ)
https://math-oge.sdamgia.ru/?redir=1

Критерии оценивания заданий:
№
задания
Балл
№21

1-14

Всего

по 1б

14 б.

№22

№23

Отметка
Количество
баллов

«5»
18-20

«4»
17-14

«3»
13-10

«2»
Меньше 10
баллов

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)